Équations (2) - Corrigé

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Énoncé

Résoudre dans $C$ les équations suivantes.

1. $z^{4} = (2 - i)^{4}$

2. $z^{5} = \sqrt{3} + 3 i$

3. $z^{6} = e^{\frac{i π}{7}}$

Solution

1. Pour tout $z \in C$ ,
$\begin{aligned} z^{4} = (2 - i)^{4} & ⟺ \frac{z^{4}}{(2 - i)^{4}} = 1 \\ ⟺ {(\frac{z}{2 - i})}^{4} = 1 \\ ⟺ \frac{z}{2 - i} \in U_{4} \\ ⟺ \frac{z}{2 - i} \in {1; i; - 1; - i} \\ ⟺ z \in {2 - i; i \times (2 - i); - (2 - i); - i \times (2 - i)} \end{aligned}$
donc $S = {2 - i; 1 + 2 i; - 2 + i; - 1 - 2 i}$ .

2. $\sqrt{3} + 3 i = 2 \sqrt{3} e^{\frac{i π}{6}}$
Pour tout $z \in C$ ,
$\begin{aligned} z^{5} = \sqrt{3} + 3 i & ⟺ z^{5} = 2 \sqrt{3} e^{\frac{i π}{6}} \\ ⟺ z^{5} = {(\sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}})}^{5} \\ ⟺ \frac{z^{5}}{{(\sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}})}^{5}} = 1 \\ ⟺ {(\frac{z}{\sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}}})}^{5} = 1 \\ ⟺ \frac{z}{\sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}}} \in U_{5} \\ ⟺ \frac{z}{\sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}}} \in {1; e^{\frac{2 i π}{5}}; e^{\frac{4 i π}{5}}; e^{\frac{6 i π}{5}}; e^{\frac{8 i π}{5}}} \\ ⟺ z \in {\sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}} e^{\frac{2 i π}{5}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}} e^{\frac{4 i π}{5}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}} e^{\frac{6 i π}{5}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}} e^{\frac{8 i π}{5}}} \\ ⟺ z \in {\sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{13 i π}{30}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{5 i π}{6}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{37 i π}{30}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{49 i π}{30}}} \end{aligned}$
donc $S = {\sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{i π}{30}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{13 i π}{30}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{5 i π}{6}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{37 i π}{30}}; \sqrt[5]{2} \sqrt[10]{3} e^{\frac{49 i π}{30}}}$ .

3. Pour tout $z \in C$ ,
$\begin{aligned} z^{6} = e^{\frac{i π}{7}} & ⟺ z^{6} = {(e^{\frac{i π}{42}})}^{6} \\ ⟺ \frac{z^{6}}{{(e^{\frac{i π}{42}})}^{6}} = 1 \\ ⟺ {(\frac{z}{e^{\frac{i π}{43}}})}^{6} = 1 \\ ⟺ \frac{z}{e^{\frac{i π}{42}}} \in U_{6} \\ ⟺ \frac{z}{e^{\frac{i π}{42}}} \in {1; e^{\frac{i π}{3}}; e^{\frac{2 i π}{3}}; - 1; e^{\frac{4 i π}{3}}; e^{\frac{5 i π}{3}}} \\ ⟺ z \in {e^{\frac{i π}{42}}; e^{\frac{i π}{42}} e^{\frac{i π}{3}}; e^{\frac{i π}{42}} e^{\frac{2 i π}{3}}; - e^{\frac{i π}{42}}; e^{\frac{i π}{42}} e^{\frac{4 i π}{3}}; e^{\frac{i π}{42}} e^{\frac{5 i π}{3}}} \\ ⟺ z \in {e^{\frac{i π}{42}}; e^{\frac{5 i π}{14}}; e^{\frac{29 i π}{42}}; - e^{\frac{i π}{42}}; e^{\frac{19 i π}{14}}; e^{\frac{71 i π}{42}}} \end{aligned}$

$S = {e^{\frac{i π}{42}}; e^{\frac{5 i π}{14}}; e^{\frac{29 i π}{42}}; - e^{\frac{i π}{42}}; e^{\frac{19 i π}{14}}; e^{\frac{71 i π}{42}}}$ .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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